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Subsections

Symétrie cubique
Symétrie hexagonale
Symétrie trigonale
Symétrie tétragonale
Après, ca devient vraiment compliqué...

Propriétés des polycristaux

Pour déduire les propriétés polycristallines du matériau considéré, il faut moyenner les modules élastiques pour déduire les modules d'incompressibilité

et de cisaillement

qui sont directement reliés au vitesse de propagation d'ondes. On utilise différentes hypothèses

l'hypothèse de Voigt: on suppose la continuité des déformations, c'est à dire que les grains s'emboitent parfaitement mais que des discontinuités de contraintes peuvent apparaître aux interfaces.
l'hypothèse de Reuss: on suppose la continuité des contraintes, c'est à dire que les contraintes sont uniformes à travers l'aggrégat mais que les grains ne s'emboitent pas parfaitement.
l'hypothèse de Hill: on utilise une simple moyenne arithmétique des quantités calculées dans le cas Reuss et Voigt, et .

L'expérience montre que les résultats numériques obtenus par l'hypothèse de Hill ne sont généralement pas trop éloignées des valeurs expérimentales. Il existe de nombreuses autres méthodes pour calculer ces quantités qui sont détaillées dans les ouvrages ou publications spécialisées.

Symétrie cubique

L'élasticité d'un cristal cubique est caractérisée par 3 modules indépendants: $C_{11}$ , $C_{12}$ et $C_{44}$ .

$\begin{displaymath} K_V={C_{11}+2 C_{12} \over 3} \;\;\;\; G_V={2 C'+3 C_{44} \over 5} \end{displaymath}$

(8)

$\begin{displaymath} K_R={C_{11}+2 C_{12} \over 3} \;\;\;\; G_R= {5 C' C_{44} \over 2 C_{44}+3 C'} \end{displaymath}$

(9)

$\begin{displaymath} C'= {1 \over 2} (C_{11}-C_{12}) \end{displaymath}$

(10)

Symétrie hexagonale

L'élasticité d'un cristal hexagonal est caractérisée par 5 modules indépendants: $C_{11}$ , $C_{12}$ , $C_{13}$ , $C_{33}$ et $C_{44}$ .

$\begin{displaymath} K_V= {1 \over 9} \left[ 2(C_{11}+C_{12}) +C_{33} + 4 C_{13} \right] \;\;\;\; G_V= {1 \over 30}(M + 12 C_{44} + 12 C_{66}) \end{displaymath}$

(11)

$\begin{displaymath} M = C_{11} + C_{12} + 2 C_{33} - 4 C_{13} \;\;\;\; C_{66} = {1 \over 2} (C_{11} - C_{12}) \end{displaymath}$

(12)

$\begin{displaymath} K_R = {c^2 \over M} \;\;\;\; G_R = {5 \over 2} {c^2 C_{44} C_{66} \over 3 K_V C_{44} C_{66} + c^2(C_{44}+C_{66})} \end{displaymath}$

(13)

$\begin{displaymath} c^2 = (C_{11}+C_{12}) C_{33} - 2 C_{13}^2 \end{displaymath}$

(14)

Symétrie trigonale

L'élasticité d'un cristal trigonal est caractérisée par 6 modules indépendants: $C_{11}$ , $C_{12}$ , $C_{13}$ , $C_{14}$ , $C_{33}$ et $C_{44}$ .

$\begin{displaymath} K_V= {1 \over 9} \left[ 2(C_{11}+C_{12}) +C_{33} + 4 C_{13} \right] \;\;\;\; G_V= {1 \over 30}(M + 12 C_{44} + 12 C_{66}) \end{displaymath}$

(15)

$\begin{displaymath} M = C_{11} + C_{12} + 2 C_{33} - 4 C_{13} \;\;\;\; C_{66} = {1 \over 2} (C_{11} - C_{12}) \end{displaymath}$

(16)

$\begin{displaymath} K_R = {c^2 \over M} \;\;\;\; G_R = {5 \over 2} {c^2 (C_{44} ... ...) \over 3 K_V (C_{44} C_{66} - C_{14}^2) + c^2(C_{44}+C_{66})} \end{displaymath}$

(17)

$\begin{displaymath} c^2 = (C_{11}+C_{12}) C_{33} - 2 C_{13}^2 \end{displaymath}$

(18)

Symétrie tétragonale

L'élasticité d'un cristal tétragonal est caractérisée par 6 modules indépendants: $C_{11}$ , $C_{12}$ , $C_{13}$ , $C_{33}$ , $C_{44}$ et $C_{66}$ .

$\begin{displaymath} K_V= {1 \over 9} \left[ 2(C_{11}+C_{12}) +C_{33} + 4 C_{13} ... ...V= {1 \over 30}(M + 3 C_{11}- 3 C_{12} + 12 C_{44} + 6 C_{66}) \end{displaymath}$

(19)

$\begin{displaymath} M = C_{11} + C_{12} + 2 C_{33} - 4 C_{13} \;\;\;\; \end{displaymath}$

(20)

$\begin{displaymath} K_R = {c^2 \over M} \;\;\;\; G_R = 15 \left[ 18 {K_V \over c... ...11}-C_{12}} + {6 \over C_{44}} + {3 \over C_{66}} \right]^{-1} \end{displaymath}$

(21)

$\begin{displaymath} c^2 = (C_{11}+C_{12}) C_{33} - 2 C_{13}^2 \end{displaymath}$

(22)

Après, ca devient vraiment compliqué...

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Sebastien Merkel 2002-02-06

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Symétrie hexagonale

Symétrie trigonale

Symétrie tétragonale

Après, ca devient vraiment compliqué...

© Sébastien Merkel, Université de Lille, France