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Subsections

Propriétés des polycristaux

Pour déduire les propriétés polycristallines du matériau considéré, il faut moyenner les modules élastiques pour déduire les modules d'incompressibilité $K$ et de cisaillement $G$ qui sont directement reliés au vitesse de propagation d'ondes. On utilise différentes hypothèses L'expérience montre que les résultats numériques obtenus par l'hypothèse de Hill ne sont généralement pas trop éloignées des valeurs expérimentales. Il existe de nombreuses autres méthodes pour calculer ces quantités qui sont détaillées dans les ouvrages ou publications spécialisées.

Symétrie cubique

L'élasticité d'un cristal cubique est caractérisée par 3 modules indépendants: $C_{11}$, $C_{12}$ et $C_{44}$.
\begin{displaymath}
K_V={C_{11}+2 C_{12} \over 3} \;\;\;\;
G_V={2 C'+3 C_{44} \over 5}
\end{displaymath} (8)


\begin{displaymath}
K_R={C_{11}+2 C_{12} \over 3} \;\;\;\;
G_R= {5 C' C_{44} \over 2 C_{44}+3 C'}
\end{displaymath} (9)


\begin{displaymath}
C'= {1 \over 2} (C_{11}-C_{12})
\end{displaymath} (10)

Symétrie hexagonale

L'élasticité d'un cristal hexagonal est caractérisée par 5 modules indépendants: $C_{11}$, $C_{12}$, $C_{13}$, $C_{33}$ et $C_{44}$.
\begin{displaymath}
K_V= {1 \over 9} \left[ 2(C_{11}+C_{12}) +C_{33} + 4 C_{13} \right] \;\;\;\;
G_V= {1 \over 30}(M + 12 C_{44} + 12 C_{66})
\end{displaymath} (11)


\begin{displaymath}
M = C_{11} + C_{12} + 2 C_{33} - 4 C_{13} \;\;\;\;
C_{66} = {1 \over 2} (C_{11} - C_{12})
\end{displaymath} (12)


\begin{displaymath}
K_R = {c^2 \over M} \;\;\;\;
G_R = {5 \over 2} {c^2 C_{44} C_{66} \over 3 K_V C_{44} C_{66} + c^2(C_{44}+C_{66})}
\end{displaymath} (13)


\begin{displaymath}
c^2 = (C_{11}+C_{12}) C_{33} - 2 C_{13}^2
\end{displaymath} (14)

Symétrie trigonale

L'élasticité d'un cristal trigonal est caractérisée par 6 modules indépendants: $C_{11}$, $C_{12}$, $C_{13}$, $C_{14}$, $C_{33}$ et $C_{44}$.
\begin{displaymath}
K_V= {1 \over 9} \left[ 2(C_{11}+C_{12}) +C_{33} + 4 C_{13} \right] \;\;\;\;
G_V= {1 \over 30}(M + 12 C_{44} + 12 C_{66})
\end{displaymath} (15)


\begin{displaymath}
M = C_{11} + C_{12} + 2 C_{33} - 4 C_{13} \;\;\;\;
C_{66} = {1 \over 2} (C_{11} - C_{12})
\end{displaymath} (16)


\begin{displaymath}
K_R = {c^2 \over M} \;\;\;\;
G_R = {5 \over 2} {c^2 (C_{44} ...
...) \over 3 K_V (C_{44} C_{66} - C_{14}^2) + c^2(C_{44}+C_{66})}
\end{displaymath} (17)


\begin{displaymath}
c^2 = (C_{11}+C_{12}) C_{33} - 2 C_{13}^2
\end{displaymath} (18)

Symétrie tétragonale

L'élasticité d'un cristal tétragonal est caractérisée par 6 modules indépendants: $C_{11}$, $C_{12}$, $C_{13}$, $C_{33}$, $C_{44}$ et $C_{66}$.
\begin{displaymath}
K_V= {1 \over 9} \left[ 2(C_{11}+C_{12}) +C_{33} + 4 C_{13} ...
...V= {1 \over 30}(M + 3 C_{11}- 3 C_{12} + 12 C_{44} + 6 C_{66})
\end{displaymath} (19)


\begin{displaymath}
M = C_{11} + C_{12} + 2 C_{33} - 4 C_{13} \;\;\;\;
\end{displaymath} (20)


\begin{displaymath}
K_R = {c^2 \over M} \;\;\;\;
G_R = 15 \left[ 18 {K_V \over c...
...11}-C_{12}} + {6 \over C_{44}} + {3 \over C_{66}} \right]^{-1}
\end{displaymath} (21)


\begin{displaymath}
c^2 = (C_{11}+C_{12}) C_{33} - 2 C_{13}^2
\end{displaymath} (22)

Après, ca devient vraiment compliqué...


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Sebastien Merkel 2002-02-06
 

© Sébastien Merkel, Université Lille 1, France

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