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Rapide introduction à l'élasticité

Loi de Hook

Les tenseurs des contraintes dans un cristal sont représentés par les matrices suivantes:
\begin{displaymath}
\left[\epsilon\right] = \left[\begin{array}{ccc}
\epsilon_{...
...\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{array}\right]
\end{displaymath} (1)

Si l'on reste en deca d'une certaine limite , la limite élastique, les déformations subies par un cristal sont réversibles. De plus, pour de faibles déformations, on constate que la quantité de déformation est proportionnelle aux contraintes appliquées. Au niveau microscopique cela implique que le tenseur des déformations d'un cristal peut être reliées au tenseur des contrainte par une loi linéaire (loi de Hook). On définit ainsi un tenseur du deuxième ordre $C_{ijkl}$$i$,$j$,$k$ et $l$ varient de 1 à 3 tel que
\begin{displaymath}
\sigma_{ij} = \sum_{k,l=1}^{3} C_{ijkl} \epsilon_{kl}
\end{displaymath} (2)

ou encore $s_{ijkl}$$i$,$j$,$k$ et $l$ varient de 1 à 3 tel que
\begin{displaymath}
\epsilon_{ij} = \sum_{k,l=1}^{3} s_{ijkl} \sigma_{kl}
\end{displaymath} (3)

Les $C_{ijkl}$ sont les modules élastiques (souvent appelés constantes élastiques, mais ils ne sont pas constants...) et les $s_{ijkl}$ coefficients de déformabilité.

Notation matricielle

Les symétries des tenseurs de contrainte et de déformations font qu'on se ramène généralement à une matrice 6x6 (notation de Voigt): $C_{ijkl}$ et $s_{ijkl}$ deviennent $C_{ij}$ et $s_{ij}$ par la transformation des indices suivante:
Tenseur 11 22 33 23 32 13 31 12 21
Matrice 1 2 3 4 4 5 5 6 6
Le tenseur des contraintes devient un vecteur $\sigma_i$ tel que
\begin{displaymath}
\left[\sigma\right] = \left[\begin{array}{ccc}
\sigma_{11} ...
...\\
\sigma_{5} & \sigma_{4} & \sigma_{3}
\end{array}\right]
\end{displaymath} (4)

Le tenseur des déformations devient un vecteur. $\epsilon_i$ tel que
\begin{displaymath}
\left[\epsilon\right] = \left[\begin{array}{ccc}
\epsilon_{...
...} & \frac{1}{2}\epsilon_{4} & \epsilon_{3}
\end{array}\right]
\end{displaymath} (5)

On a
\begin{displaymath}
\sigma_i = \sum_{j=1}^6 C_{ij} \epsilon_j \;\; \epsilon_i \sum_{j=1}^6 s_{ij} \sigma_j
\end{displaymath} (6)

et
\begin{displaymath}
s = C^{-1}
\end{displaymath} (7)

Application de symétries

$C_{ij}$ et $s_{ij}$ ont 36 coefficients indépendants. Des considérations sur le travail et l'énergie permettent de ramener ce nombre à 21 (ces matrices est symétrique). Puis la symétrie du cristal diminue encore le nombre de paramètres indépendants.
symétrie Nombre de composantes indépendantes
cubique 3
hexagonale 5
tetragonale 6
trigonale 6 ou 7
orthorombique 9
monoclinique 13
triclinique 21


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Sebastien Merkel 2002-02-06
 

© Sébastien Merkel, Université de Lille, France

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